Question

【题目】已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）是否存在实数m，当x∈（0，1]时，函数g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1）的最小值为0，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若0＜x1＜x2 ， 求证： ＜2x2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2﹣blnx，得：
，
∵函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1，
∴ ，解得a=1，b=2；
（II）由（Ⅰ）知，f（x）=x2﹣2lnx，
∴g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1）=m（x﹣1）﹣2lnx，x∈（0，1]，
∴ ，
①当m≤0时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，1]上单调递减，
∴g（x）min=g（1）=0．
②当0＜m≤2时， ，
∴g（x）在（0，1]上单调递减，
∴g（x）min=g（1）=0．
③当m＞2时，g′（x）＜0在 上恒成立，g′（x）＞0在 上恒成立，
∴g（x）在 上单调递减，在 上单调递增．
∴ ，
∴g（x）min≠0．
综上所述，存在m满足题意，其范围为（﹣∞，2]；
（III）证明：由（II）知，m=1时，g（x）=x﹣1﹣2lnx在（0，1）上单调递减，
∴x∈（0，1）时，g（x）＞g（1）=0，
即x﹣1＞2lnx．
∵0＜x1＜x2 ，
∴0＜ ，
∴ ，
∴ ，
∵lnx2＞lnx1 ，
∴
【解析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f（1）=1且f′（1）=0联立求得a，b的值；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的f（x）的解析式代入g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1），求其导函数，然后对m分类分析导函数的符号，得到原函数的单调性，求出最小值．特别当m＞2时，g（x）在 上单调递减，在 上单调递增，求出g（x）的最小值小于0．则m的取值范围可求；（Ⅲ）由（II）知，m=1时，g（x）=x﹣1﹣2lnx在（0，1）上单调递减，得到x﹣1＞2lnx，由0＜x1＜x2得到
0＜ ，代入x﹣1＞2lnx证得答案．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．