Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y²=4x的焦点F交抛物线于A、B两点．
（1）若|AB|=8，求直线l的斜率
（2）若|AF|=m，|BF|=n．求证

1

m

+

1

n

为定值．

Answer 1

分析：（1）求出抛物线的焦点坐标，准线方程，设直线l方程为：y=k（x-1），代入y²=4x得[k（x-1）]²=4x，利用韦达定理及抛物线的定义，即可求直线l的斜率
（2）由（1）知，|AF|=m=x₁+1，|BF|=n=x₂+1，表示出

1

m

+

1

n

．利用韦达定理代入化简即可得出结论．

解答：（1）解：抛物线的焦点坐标为（1，0），准线方程为：x=-1
设直线l方程为：y=k（x-1），代入y²=4x得[k（x-1）]²=4x，即k²x²-（2k²+4）x+k²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1
∵|AB|=8，∴x₁+x₂+2=8
∴

2k2+4

k2

=6，∴k²=1
∴k=1或-1
（2）证明：由（1）知，|AF|=m=x₁+1，|BF|=n=x₂+1．
∴

1

m

+

1

n

=

1

x1+1

+

1

x2+1

=

x1+1+x2+1

(x1+1)(x2+1)

=

x1+x2+2

(x1+x2)+x1x2+1

∵x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1
∴

x1+x2+2

(x1+x2)+x1x2+1

=

2k2+4 k2 +2

2k2+4 k2 +2

=1
∴

1

m

+

1

n

=1

点评：本题重点考查抛物线的标准方程，考查抛物线过焦点的弦，利用抛物线的定义，正确运用韦达定理是解题的关键．