Question

（2012•洛阳模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

q

=（2a，1），

p

=（2b-c，cosC）且

p

∥

q

．
求：
（I）求sinA的值；
（II）求三角函数式

-2cos2C

1+tanC

+1的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据向量平行的充要条件列式：2b-c=2acosC，结合正弦定理与两角和的正弦公式，化简可得2cosAsinC=sinC，最后用正弦的诱导公式化简整理，可得cosA=

1

2

，从而得到sinA的值；
（II）将三角函数式用二倍角的余弦公式结合“切化弦”，化简整理得

2

sin（2C-

π

4

），再根据A=

π

3

算出C的范围，得到sin（2C-

π

4

）的取值范围，最终得到原三角函数式的取值范围．

解答：解：（I）∵

p

∥

q

，∴2acosC=1×（2b-c），
根据正弦定理，得2sinAcosC=2sinB-sinC，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴2cosAsinC-sinC=0，即sinC（2cosA-1）=0
∵C是三角形内角，sinC≠0
∴2cosA-1=0，可得cosA=

1

2

∵A是三角形内角，
∴A=

π

3

，得sinA=

3

2

            …（5分）
（II）

-2cos2C

1+tanC

+1=

2(sin2C-cos2C)

1+ sinC cosC

+1=2cosC（sinC-cosC）+1=sin2C-cos2C，
∴

-2cos2C

1+tanC

+1=

2

sin（2C-

π

4

），
∵A=

π

3

，得C∈（0，

2π

3

），
∴2C-

π

4

∈（-

π

4

，

13π

12

），可得-

2

2

＜sin（2C-

π

4

）≤1，
∴-1＜

2

sin（2C-

π

4

）≤

2

，
即三角函数式

-2cos2C

1+tanC

+1的取值范围是（-1，

2

]．     …（11分）

点评：本题给出向量平行，通过列式化简求A的大小，并求关于B的三角式的取值范围．着重考查了平面向量平行、三角恒等化简、正弦定理和诱导公式等知识，属于中档题．