Question

3．设数列{a_n}前n项和S_n，且S_n=2a_n-2．，令b_n=log₂a_n
（I）试求数列{a_n}的通项公式；
（II）设${c_n}=\frac{b_n}{a_n}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．
（Ⅲ）对任意m∈N*，将数列{2b_n}中落入区间（a_m，a_2m）内的项的个数记为d_m，求数列{d_m}的前m项和T_m．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a₁=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，从而得到数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（II）由${c_n}=\frac{n}{a_n}=\frac{n}{2^n}$，利用错们相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．
（Ⅲ）由数列{2b_n}中落入区间（a_m，a_2m）内，从而2^m-1＜n＜2^2m-1，进而得到${d_m}={2^{2m-1}}-{2^{m-1}}-1$，m∈N₊，由此能求出数列{d_m}的前m项和T_m．

解答 （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当n=1时，S₁=2a₁-2，a₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
所以，a_n=2a_n-1，即$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2$，
由等比数列的定义知，数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，数列{a_n}的通项公式为${a_n}=2×{2^{n-1}}={2^n}，n∈{N_+}$．…（4分）
（II）由（I）知${c_n}=\frac{n}{a_n}=\frac{n}{2^n}$
所以${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n}{2^n}$，①
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$，②…（6分）
①-②，得$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$
=$\frac{{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}$，
∴${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$．…（10分）
（Ⅲ）由题知，数列{2b_n}中落入区间（a_m，a_2m）内，即a_m＜2b_n＜a_2m，
所以2^m＜2n＜2^2m，所以2^m-1＜n＜2^2m-1
所以数列{2b_n}中落入区间（a_m，a_2m）内的项的个数为2^2m-1-2^m-1-1，m∈N₊
所以${d_m}={2^{2m-1}}-{2^{m-1}}-1$，m∈N₊
所以${T_m}=\frac{{2（{4^m}-1）}}{4-1}-\frac{{{2^m}-1}}{2-1}-m$=$\frac{2}{3}×{4^m}-{2^m}-m+\frac{1}{3}$．…（14分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求地，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．