Question

【题目】如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．

（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图所示，取PD的中点E，连接AE、NE，

∵N为PC的中点，E为PD的中点，∴NE∥CD且NE＝ CD，而AM∥CD
且AM＝ AB＝ CD，∴NE∥AM且NE＝AM，∴四边形AMNE为平行四边形，
∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD，又AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，又AE∥MN，∴MN⊥CD
（2）证明：由(1）可知CD⊥AE，MN∥AE.又∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，又E为PD的中点，∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD. 又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD
【解析】（1）通过证明CD⊥平面PAD即线面垂直来证明MN⊥CD即线线垂直。
（2）当∠PDA＝45°时，△PAD为等腰直角三角形，在平面内找到两条直线都与MN垂直即可。
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定和直线与平面垂直的性质，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；垂直于同一个平面的两条直线平行即可以解答此题．