Question

2．已知数列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），则这个数列的通项公式为a_n=$\frac{7•{3}^{n-1}+13•（-1）^{n-1}}{4}$．

Answer 1

分析 通过a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）变形为a_n+λa_n-1=m（a_n-1+λa_n-2）形式计算可求．

解答 解：∵a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），
∴a_n+a_n-1=3（a_n-1+a_n-2），
又∵a₂+a₁=2+5=7，
∴数列{a_n+1+a_n}是以7为首项、3为公比的等比数列，
∴a_n+1+a_n=7•3^n-1；
∵a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），
∴a_n-3a_n-1=-（a_n-1-3a_n-2），
又∵a₂-3a₁=2-3•5=-13，
∴数列{a_n+1-3a_n}是以-13为首项、-1为公比的等比数列，
∴a_n+1-3a_n=-13•（-1）^n-1；
∴a_n=$\frac{（{a}_{n+1}+{a}_{n}）-（{a}_{n+1}-3{a}_{n}）}{4}$=$\frac{7•{3}^{n-1}+13•（-1）^{n-1}}{4}$，
故答案为：$\frac{7•{3}^{n-1}+13•（-1）^{n-1}}{4}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．