Question

已知二次曲线C_k的方程：

x2

9-k

+

y2

4-k

=1．
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
（2）若双曲线C_k与直线y=x+1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；
（3）m、n为正整数，且m＜n，是否存在两条曲线C_m、C_n，其交点P与点F1(-

5

，0)，F2(

5

，0)满足PF₁⊥PF₂，若存在，求m、n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）当且仅当分母都为正，且不相等时，方程表示椭圆；当且仅当分母异号时，方程表示双曲线．
（2）将直线与曲线联立

y=x+1 x2 9-k + y2 4-k =1

化简得：（13-2k）x²+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0，利用双曲线C_k与直线y=x+1有公共点，可确定k的范围，从而可求双曲线的实轴，进而可得双曲线方程；
（3）由（1）知C₁，C₂，C₃是椭圆，C₅，C₆，C₇，C₈是双曲线，结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间无公共点，从而可求．

解答：解：（1）当且仅当

9-k＞0 4-k＞0 9-k≠4-k

⇒k＜4时，方程表示椭圆；----（2分）
当且仅当（9-k）（4-k）＜0⇒4＜k＜9时，方程表示双曲线．---（4分）
（2）

y=x+1 x2 9-k + y2 4-k =1

化简得：（13-2k）x²+2（9-k）x+（9-k）（k-3）=0----（6分）
△≥0⇒k≥6或k≤4所以6≤k＜9-------（8分）
双曲线的实轴为2

9-k

，当k=6时，双曲线实轴最长为2

3

此时双曲线方程为

x2

3

-

y2

2

=1-------（10分）
（3）由（1）知C₁，C₂，C₃是椭圆，C₅，C₆，C₇，C₈是双曲线，结合图象的几何性质
任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间无公共点------（12分）
设|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，m∈{1，2，3}，n∈{5，6，7，8}
由椭圆与双曲线定义及

PF1

•

PF2

=0；

d1+d2=2 9-m |d1-d2|=2 9-n d12+d22=20

所以m+n=8-----（16分）
所以这样的C_m，C_n存在，且

m=1 n=7

或

m=2 n=6

或

m=3 n=5

-----（18分）

点评：本题以二次曲线为载体，考查二次曲线的性质，考查直线与曲线的位置关系，有一定难度．