Question

如图，已知椭圆C的方程为＋y²＝1，A、B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成的矩形的两个顶点．

(1)设P是椭圆C上任意一点，若＝m＋n，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；
(2)若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．

Answer 1

（1）见解析（2）△OMN的面积为定值1

(1)证明：易知A(2，1)，B(－2，1)．设P(x₀，y₀)，则＋＝1.由＝m＋n，得所以＋(m＋n)²＝1，即m²＋n²＝，故点Q(m，n)在定圆x²＋y²＝上．
(2)解：(解法1)设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，则，平方得＝16＝(4－)(4－)，即＋＝4.因为直线MN的方程为(y₁－y₂)x－(x₁－x₂)y＋x₁y₂－x₂y₁＝0，所以O到直线MN的距离为d＝，所以△OMN的面积S＝MN·d＝|x₁y₂－x₂y₁|＝＝＝＝1，故△OMN的面积为定值1.
(解法2)设OM的方程为y＝kx(k>0)，则ON的方程为y＝－x(k>0)．联立方程组解得M.同理可得N
因为点N到直线OM的距离为d＝，OM＝＝2，所以△OMN的面积S＝d·OM＝＝1，故△OMN的面积为定值．