Question

【题目】设f（x）=|3x﹣2|+|x﹣2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤8；
（Ⅱ）对任意的非零实数x，有f（x）≥（m2﹣m+2）|x|恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当x≤ 时，原不等式可化为﹣（3x﹣2）﹣（x﹣2）≤8，解得x≥﹣1，故此时﹣1≤x≤ ；

当 ＜x≤2时，原不等式可化为3x﹣2﹣（x﹣2）≤8，解得x≤4，故此时 ＜x≤2；

当x＞2时，原不等式可化为3x﹣2+x﹣2≤8，即x≤3，故此时2＜x≤3．

综上可得，原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤3}．

（Ⅱ）对任意的非零实数x，有f（x）≥（m2﹣m+2）|x|恒成立，

则不等式可化为：m2﹣m+2≤|3﹣ |+|1﹣ |恒成立．

因为|3﹣ |+|1﹣ |≥|3﹣ + ﹣1|=2，

所以要使原式恒成立，只需m2﹣m+2≤2即可，即m2﹣m≤0．

解得0≤m≤1．

【解析】（Ⅰ）分情况将原不等式绝对值符号去掉，然后求解；（Ⅱ）两边同除以|x|，然后求出左边的最小值，解关于m的不等式即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．