【题目】已知函数.
(1)若是函数的极值点,求的单调区间;
(2)当时,证明:
【答案】(1)递减区间为(-1,0),递增区间为(2)见解析
【解析】
(1)根据函数解析式,先求得导函数,由是函数的极值点可求得参数.求得函数定义域,并根据导函数的符号即可判断单调区间.
(2)当时,.代入函数解析式放缩为,代入证明的不等式可化为,构造函数,并求得,由函数单调性及零点存在定理可知存在唯一的,使得成立,因而求得函数的最小值,由对数式变形化简可证明,即成立,原不等式得证.
(1)函数
可求得,则
解得
所以,定义域为
,
在单调递增,而,
∴当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
此时是函数的极小值点,
的递减区间为,递增区间为
(2)证明:当时,
,
因此要证当时,,
只需证明,
即
令,
则,
在是单调递增,
而,
∴存在唯一的,使得,
当,单调递减,当,单调递增,
因此当时,函数取得最小值,
,
,
故,
从而,即,结论成立.
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【题目】每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”,以餐饮业为例,当外面太冷时,不少人都会选择叫外卖上门,外卖商家的订单就会增加,下表是某餐饮店从外卖数据中抽取的5天的日平均气温与外卖订单数.
(Ⅰ)经过数据分析,一天内平均气温与该店外卖订单数(份)成线性相关关系,试建立关于的回归方程,并预测气温为时该店的外卖订单数(结果四舍五入保留整数);
(Ⅱ)天气预报预测未来一周内(七天),有3天日平均气温不高于,若把这7天的预测数据当成真实数据,则从这7天任意选取2天,求恰有1天外卖订单数不低于160份的概率.
附注:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:.
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【题目】在①;②;③ 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并解答相应的问题.
在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足________________,,求的面积.
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为,直线l与曲线C交于A,B两个不同的点.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)若点P为直线l与x轴的交点,求的取值范围.
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【题目】数列是公差为d()的等差数列,它的前n项和记为,数列是公比为q()的等比数列,它的前n项和记为.若,且存在不小于3的正整数,使.
(1)若,求.
(2)若试比较与的大小,并说明理由;
(3)若,是否存在整数m,k,使若存在,求出m,k的值;若不存在,说明理由.
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【题目】为大力提倡“厉行节约,反对浪费”,衡阳市通过随机询问100名性别不同的居民是否做到“光盘”行动,得到如右列联表及附表:经计算:参照附表,得到的正确结论是( )
做不到“光盘”行动 | 做到“光盘”行动 | |
男 | 45 | 10 |
女 | 30 | 15 |
k |
A.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别无关”
C.有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别有关”
D.有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别无关”
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