Question

【题目】已知抛物线C：y=2x2 ， 直线l：y=kx+2交C于A、B两点，M是AB 的中点，过M作x 轴的垂线交C于N点．

（Ⅰ）证明：抛物线C在N 点处的切线与AB 平行；
（Ⅱ）是否存在实数k，使以AB为直径的圆M经过N点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0

所以x1+x2= ，xN=xM= ，所以N（ ， ）．

因为（2x2）'=4x，所以抛物线在N点处的切线斜率为k，故该切线与AB 平行；

（Ⅱ）假设存在实数k，使以AB为直径的圆M经过N点，则|MN|= |AB|

由（Ⅰ）知yM= ，又因为MN垂直于x轴，

所以|MN|=yM﹣yN= ，

而|AB|=|x1﹣x2| ，

所以 ，解得k=±2

所以，存在实数k=±2使以AB为直径的圆M 经过N 点．

【解析】（Ⅰ）根据根与系数的关系及中点坐标公式求得点M的横坐标，进而求得点N的坐标，再利用导数求得抛物线上的点N处切线的斜率，与直线AB的斜率相等则其切线与直线AB平行；（Ⅱ）先假设存在实数k，再根据题意得到关系式|MN|= |AB|，再将其化为方程，方程无根则不存在实数k，求得方程的根则存在实数k，并可求得实数k的值.