Question

在四面体ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD的外接球的半径为

3

．

Answer 1

分析：设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上，且点N为△ABD的中心．设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD，从而可求DM，MN，进而可求四边形DMON的外接圆的直径，即可求得球O的半径．

解答：解：设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上．
由题设知，△ABD是正三角形，则点N为△ABD的中心．
设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD．
因为∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°，设CD与平面ABD所成角为θ，
∴cosθ=

1

3

，sinθ=

2

3

．
在△DMN中，DM=

1

2

CD=1，DN=

2

3

•DP=

2

3

•

3

2

•3=

3

．
由余弦定理得MN2=12+(

3

)2-2•1•

3

•

1

3

=2，
故MN=

2

．
∴四边形DMON的外接圆的直径OD=

MN

sinθ

=

2

2 3

=

3

．
故球O的半径R=

3

．
故答案为：

3

点评：本题考查四面体ABCD的外接球，考查学生的计算能力，确定四面体ABCD的外接球球心位置是关键．