Question

已知有穷数列{a_n}只有2k项（整数k≥2），首项a₁=2，设该数列的前n项和为S_n，且Sn=

an+1-2

a-1

(n=1，2，3，…，2k-1)，其中常数a＞1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若a=2

2

n-1

，数列{b_n}满足bn=

1

n

log2(a1a2…an)，(n=1，2，3，…，2k)，求证：1≤b_n≤2．

Answer 1

分析：（1）n≥2时，sn=

an+1-2

a-1

，sn-1=

an-2

a-1

两式相减得Sn-Sn-1=

an+1-an

a-1

，an=

an+1-an

a-1

，a_n+1=a•a_n，由此能名求出数列{a_n}的通项公式．
（2）把数列{a_n}的通项公式代入数列{b_n}的通项公式，可得bn=

1

n

log2(a1a2…an)=

1

n

[n+

n(n-1)

2

•

2

2k-1

]=1+

n-1

2k-1

，由此能够证明1≤b_n≤2．

解答：解：（1）n≥2时，sn=

an+1-2

a-1

，sn-1=

an-2

a-1

两式相减得
Sn-Sn-1=

an+1-an

a-1

，an=

an+1-an

a-1

，
∴a_n+1=a•a_n，
当n=1时，a1=S1=

a2-2

a-1

=2，
∴a₂=2a，
则，数列{a_n}的通项公式为a_n=2•a^n-1．
（2）把数列{a_n}的通项公式代入数列{b_n}的通项公式，可得
bn=

1

n

log2(a1a2…an)=

1

n

(log2a1+log2a2+…+log2an)
=

1

n

[1+（1+

2

2k-1

）+（1+

4

2k-1

）+…+（1+

2n-2

2k-1

）]
=

1

n

[n+

n(n-1)

2

•

2

2k-1

]=1+

n-1

2k-1

Q₁≤n≤2k，∴1≤b_n≤2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法和数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意迭代法合理运用和合理地进行等价转化．