Question

6．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sin（A+B）+sin（A-B）=2sin2B．若$C=\frac{π}{3}$，则$\frac{a}{b}$=（　　）

• A． 2
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$或3
• D． 2或$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根据三角形内角和定理与诱导公式，可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入题中等式并利用三角恒等变换化简，整理得cosB（sinA-3sinB）=0，可得cosB=0或sinA=3sinB．再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算，可得$\frac{a}{b}$的值．

解答 解：由题意可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
又∵sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB，
故所给的等式即 sinC+sin（A-B）=3sin2B，
即（sinAcosB+cosAsinB）+（sinAcosB-cosAsinB）=6sinBcosB，
化简得2sinAcosB=6sinBcosB，即cosB（sinA-3sinB）=0
解之得cosB=0或sinA=3sinB．
①若cosB=0，结合B为三角形的内角，可得B=$\frac{π}{2}$，
∵C=$\frac{π}{3}$，∴A=$\frac{π}{2}-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$，$\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{1}{2}$．
②若sinA=3sinB，由正弦定理得a=3b，所以$\frac{a}{b}$=3．
综上所述，$\frac{a}{b}$的值为$\frac{1}{2}$或3，
故选：C．

点评 本题给出三角形角的三角函数关系式，求边之间的比值．着重考查了三角形内角和定理与诱导公式、三角恒等变换、三角函数的定义和正余弦定理等知识，属于中档题．