A. | 2 | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$或3 | D. | 2或$\frac{1}{4}$ |
分析 根据三角形内角和定理与诱导公式,可得sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代入题中等式并利用三角恒等变换化简,整理得cosB(sinA-3sinB)=0,可得cosB=0或sinA=3sinB.再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算,可得$\frac{a}{b}$的值.
解答 解:由题意可得sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
又∵sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB,
故所给的等式即 sinC+sin(A-B)=3sin2B,
即(sinAcosB+cosAsinB)+(sinAcosB-cosAsinB)=6sinBcosB,
化简得2sinAcosB=6sinBcosB,即cosB(sinA-3sinB)=0
解之得cosB=0或sinA=3sinB.
①若cosB=0,结合B为三角形的内角,可得B=$\frac{π}{2}$,
∵C=$\frac{π}{3}$,∴A=$\frac{π}{2}-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$,$\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{1}{2}$.
②若sinA=3sinB,由正弦定理得a=3b,所以$\frac{a}{b}$=3.
综上所述,$\frac{a}{b}$的值为$\frac{1}{2}$或3,
故选:C.
点评 本题给出三角形角的三角函数关系式,求边之间的比值.着重考查了三角形内角和定理与诱导公式、三角恒等变换、三角函数的定义和正余弦定理等知识,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | -1 | C. | i | D. | -i |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | B. | -$\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | -$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | a>b>c | B. | b>a>c | C. | c>a>b | D. | c>b>a |
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