Question

10．设α∈（0，$\frac{π}{3}$），满足$\sqrt{3}$sinα+cosα=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
（1）求cos（α+$\frac{π}{6}$）的值；
（2）求cos（2α+$\frac{7}{12}$π）的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦公式求得 sin（α+$\frac{π}{6}$）的值，再利用同角三角函数的基本关系求得 cos（α+$\frac{π}{6}$） 的值．
（2）利用二倍角公式求得 cos（2α+$\frac{π}{3}$）的值，可得sin（2α+$\frac{π}{3}$）的值，从而求得cos（2α+$\frac{7}{12}$π）=cos[（2α+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]的值．

解答 解：（1）∵α∈（0，$\frac{π}{3}$），满足$\sqrt{3}$sinα+cosα=$\frac{\sqrt{6}}{2}$=2sin（α+$\frac{π}{6}$），∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
（2）∵cos（2α+$\frac{π}{3}$）=2${cos}^{2}（α+\frac{π}{6}）$-1=$\frac{1}{4}$，sin（2α+$\frac{π}{3}$）=2sin（α+$\frac{π}{6}$） cos（α+$\frac{π}{6}$）=2•$\frac{\sqrt{6}}{4}$•$\frac{\sqrt{10}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴cos（2α+$\frac{7}{12}$π）=cos[（2α+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]=cos（2α+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{4}$-sin（2α+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{1}{4}•\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{15}}{4}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{30}}{8}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和差的三角公式的应用，属于基础题．