Question

【题目】如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD= ．

（1）求证：CD⊥平面ADS；
（2）求AD与SB所成角的余弦值；
（3）求二面角A﹣SB﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD

又SD⊥AB，AB∥CD，则CD⊥SD

AD⊥SD

∴CD⊥平面ADS

（2）解：矩形ABCD，∴AD∥BC，即BC=1，

∴要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角

在△SBC中，由（1）知，SD⊥面ABCD．

∴Rt△SDC中，

∴CD是CS在面ABCD内的射影，且BC⊥CD，

∴SC⊥BC

tan∠SBC=

cos∠SBC=

从而SB与AD的成的角的余弦为

（3）∵△SAD中SD⊥AD，且SD⊥AB

∴SD⊥面ABCD．

∴平面SDB⊥平面ABCD，BD为面SDB与面ABCD的交线．

∴过A作AE⊥DB于E∴AE⊥平面SDB

又过A作AF⊥SB于F，连接EF，

从而得：EF⊥SB

∴∠AFB为二面角A﹣SB﹣D的平面角

在矩形ABCD中，对角线∵

BD= ∴在△ABD中，AE=

由（2）知在Rt△SBC， ．

而Rt△SAD中，SA=2，且AB=2，∴SB2=SA2+AB2，

∴△SAB为等腰直角三角形且∠SAB为直角，

∴

∴

所以所求的二面角的余弦为

【解析】（1）要证CD⊥平面ADS，只需证明直线CD垂直平面ADS内的两条相交直线AD、SD即可；（2）要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角，解三角形可求AD与SB所成角的余弦值；（3）过A作AE⊥DB于E 又过A作AF⊥SB于F，连接EF，说明∠AFB为二面角A﹣SB﹣D的平面角，解三角形可求二面角A﹣SB﹣D的余弦值．
【考点精析】掌握异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．