Question

2．已知椭圆C的两焦点F₁（-1，0）和F₂（1，0），P为椭圆上一点，且2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF₂B的面积为$\frac{12\sqrt{6}}{11}$，求以F₂为圆心且与直线l相切的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆的焦点坐标可知c=1及椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），利用椭圆定义及2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|计算可知a=2，进而利用b²=a²-c²计算可得结论；
（2）通过（1）可设直线l方程为：x=ty-1，并与椭圆方程联立，利用韦达定理、完全平方公式及$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|=$\frac{12\sqrt{6}}{11}$计算可知t=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵椭圆C的两焦点F₁（-1，0）和F₂（1，0），
∴c=1，椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
又∵2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，
∴4c=2a，即a=2c=2，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由（1）易知直线l的斜率存在，设直线l方程为：x=ty-1，
联立直线l与椭圆方程，消去x可知：（4+3t²）y²-6ty-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{6t}{4+3{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{t}^{2}}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{（\frac{6t}{4+3{t}^{2}}）^{2}-4（-\frac{9}{4+3{t}^{2}}）}$
=$\frac{12\sqrt{1+{t}^{2}}}{4+3{t}^{2}}$，
∴$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|=$\frac{12\sqrt{6}}{11}$，即$\frac{1}{2}$•2•$\frac{12\sqrt{1+{t}^{2}}}{4+3{t}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{6}}{11}$，
化简得：54t⁴+23t²-25=0，
解得：t²=$\frac{1}{2}$或-$\frac{25}{27}$（舍），
∴t=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由对称性可知只需计算出以F₂为圆心且与直线l：x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+1=0相切的圆的方程即可，
该圆半径r=$\frac{|1+0+1|}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
于是所求圆的方程为：（x-1）²+y²=$\frac{8}{3}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．