Question

已知直线ax+by+c=0与圆O：x²+y²=1相交于A，B两点，且|AB|=

3

，以A，B为切点的两条切线的夹角为

π

3

．

Answer 1

分析：取AB的中点C，连接OC，|利用圆的切线性质求出∠AOB的大小，设两切线的交点为N，再根据四边形OANB为圆内接四边形，可得∠AOB 与∠ANB互补，由此求得∠ANB的值．

解答：解：取AB的中点C，连接OC，|AB|=

3

，则|AC|=

3

2

，|OA|=1，故sin∠AOC=

AC

OA

=

3

2

，
∴∠AOC=

π

3

，
∴∠AOB=

2π

3

．
设两切线的交点为N，再由圆的切线性质可得，四边形OANB为圆内接四边形，故∠AOB 与∠ANB互补，
∴∠ANB=π-

2π

3

=

π

3

，
故答案为

π

3

．

点评：本题主要考查了直线和圆的方程的应用，以及向量的数量积公式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．