Question

（2011•泉州模拟）如图，已知三角形ABC的三边AB=4，AC=5，BC=3，椭圆M以A、B为焦点且经过点C．
（Ⅰ）建立适当直角坐标系，求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）过线段AB的中点的直线l交椭圆M于E，F两点，试求

AE

•

BF

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以线段AB的中点为原点，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，设椭圆M的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由2a=AC+BC=8，2c=AB=4，能导出椭圆M的标准方程．
（Ⅱ）解法一：直线l经过椭圆的中心，设E（x₀，y₀），F（-x₀，-y₀），则　

x02

16

+

y02

12

=1，y02=12-

3

4

x02，由A（-2，0），B（2，0），

AE

=(x0+2，y0)，

BF

=(-x0-2，-y0)，

AE

•

BF

=-(x0+2)2-y02=-

1

4

(x0+8)2，由此能求出

AE

•

BF

的取值范围．
解法二：由椭圆的性质得 

OA

=-

OB

，

OE

=-

OF

，

AE

=

OE

-

OA

=-(

OF

-

OB

)=-

BF

，

AE

•

BF

=-|

AE

|2．由此能求出

AE

•

BF

的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）如图，以线段AB的中点为原点，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，由已知设椭圆M的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，根据定义2a=AC+BC=8，2c=AB=4，b²=a²-c²，b＞0a=4，c=2，b=2

3

∴椭圆M的标准方程

x2

16

+

y2

12

=1．
（Ⅱ）解法一：直线l经过椭圆的中心，设E（x₀，y₀），F（-x₀，-y₀），
则　

x02

16

+

y02

12

=1，y02=12-

3

4

x02
又A（-2，0），B（2，0），
∴

AE

=(x0+2，y0)，

BF

=(-x0-2，-y0)
∴

AE

•

BF

=-(x0+2)2-y02=-(x0+2)2-(12-

3

4

x02)=-

1

4

(x0+8)2
由椭圆的性质得-4≤x₀≤4
∴-36≤-

1

4

(x0+8)2≤-4
∴

AE

•

BF

的取值范围是[-36，-4]．
解法二：由椭圆的性质得 

OA

=-

OB

，

OE

=-

OF

∴

AE

=

OE

-

OA

=-(

OF

-

OB

)=-

BF

∴

AE

•

BF

=-|

AE

|2．
又A是椭圆M的焦点．点E在椭圆M上a-c≤|

AE

|≤a+c，即2≤|

AE

|≤6，-36≤-|

AE

|2≤-4
∴

AE

•

BF

的取值范围是[-36，-4]．

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，求

AE

•

BF

的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，注意合理地进行等价转化．