Question

【题目】我们把离心率e= 的双曲线 =1（a＞0，b＞0）称为黄金双曲线．如图是双曲线 =1（a＞0，b＞0，c= ）的图象，给出以下几个说法： ①若b2=ac，则该双曲线是黄金双曲线；
②若F1 ， F2为左右焦点，A1 ， A2为左右顶点，B1（0，b），B2（0，﹣b）且∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；
③若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2 ， ∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确命题的序号为 ．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：①b2=ac，则e= = = ， ∴e2﹣e﹣1=0，解得e= ，或e= （舍），
∴该双曲线是黄金双曲线，故①正确；
②如图，F1 ， F2为左右焦点，A1 ， A2为左右顶点，
B1（0，b），B2（0，﹣b），且∠F1B1A2=90°，
∴B1F12+B1A22=A2F12 ， 即b2+2c2=（a+c）2 ，
整理，得b2=ac，由①知该双曲线是黄金双曲线，故②正确；
③如图，MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2 ， ∠MON=90°，
∴NF2=OF2 ， ∴ =c，∴b2=ac，
由①知该双曲线是黄金双曲线，故③正确．
所以答案是：①②③．