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    （2009•昆明模拟）某射手向一个气球射击，假定各次射击是相互独立的，且每次射击击破气球的概率均为
    14
    ．
    （I）若该射手共射击三次，求第三次射击才将球击破的概率；
    （II）给出两种积分方案：
    方案甲：提供三次射击机会和一张700点的积分卡，若未击中的次数为ξ，则扣除积分128ξ点．
    方案乙：提供四次射击机会和一张1000点的积分卡，若未击中的次数为ξ，则扣除积分256ξ点．
    在执行上述两种方案时规定：若将球击破，则射击停止；若未击破，则继续射击直至用完规定的射击次数．
    问：该射手应选择哪种方案才能使积分卡剩余点数最多，并说明理由．
    分析：（I）设Ai表示第i次将球击破，则P=P（
    .
    A1
    •
    .
    A2
    •A3    ），由此能求出第三次射击才将球击破的概率．
    （II）对于方案甲，积分卡剩余点数η甲=700-128ξ，ξ=0，1，2，3；对于方案乙，积分卡剩余点数η乙=1000-256ξ，ξ=0，1，2，3，4．分别求出Eη甲和Eη乙，能得到结果．
    解答：解：（I）设Ai表示第i次将球击破，
    则P=P（
    .
    A1
    •
    .
    A2
    •A3    ）=
    3
    4
    ×
    3
    4
    ×
    1
    4
    =
    9
    64
    ．（5分）
    （II）对于方案甲，积分卡剩余点数η甲=700-128ξ，ξ=0，1，2，3，
    由已知可得P（ξ=0）=
    1
    4
    ，
    P（ξ=1）=
    3
    4
    ×
    1
    4
    =
    3
    16
    ，
    P（ξ=2）=（
    3
    4
    ）2×
    1
    4
    =
    9
    64
    ，
    P（ξ=3）=（
    3
    4
    ）3=
    27
    64
    ．
    故Eξ=0×
    1
    4
    +1×
    3
    16
    +2×
    9
    64
    +3×
    27
    64
    =
    111
    64
    ．
    故Eη甲=E（700-128ξ）=700-128Eξ=478．（8分）
    对于方案乙，积分卡剩余点数η乙=1000-256ξ，ξ=0，1，2，3，4，
    由已知可得P（ξ=0）=
    1
    4
    ，
    P（ξ=1）=
    3
    4
    ×
    1
    4
    =
    3
    16
    ，
    P（ξ=2）=（
    3
    4
    ）2×
    1
    4
    =
    9
    64
    ，
    P（ξ=3）=（
    3
    4
    ）3×
    1
    4
    =
    27
    256
    ，
    P（ξ=4）=（
    3
    4
    ）4=
    81
    256

    ∴Eξ=0×
    1
    4
    +1×
    3
    16
    +2×
    9
    64
    +3
    27
    256
    +4×
    81
    256
    =
    525
    256
    ．
    故Eη乙=E（1000-256ξ）=1000-Eξ=475．（11分）
    故Eη甲＞Eη乙，
    所以选择方案甲积分卡剩余点数最多．（12分）
    点评：本题考查离散型随机变量的数学期望的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合知识的合理运用．
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