Question

在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sinC．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求表达式t=

sinB+cosC

cosB+sinC

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，得到关于a，b及c的关系式，再利用余弦定理表示出cosA，把得到的关系式代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由第一问求出的A的度数，利用三角形的内角和定理求出B+C的度数，可设设B=

π

3

+α∈（0，

π

2

），C=

π

3

-α∈（0，

π

2

），进而求出α的范围，把设出的B和A代入表达式t=

sinB+cosC

cosB+sinC

中，利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，最后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数中化为一个角的正切函数，由α的范围求出这个角的范围为（

π

12

，

5π

12

），根据正切函数的图象与性质得到在此区间正切函数单调递增，可得t的最小值为tan

π

12

和及最大值为tan

5π

12

，同时利用两角和与差的正切函数公式及诱导公式分别求出tan

π

12

和tan

5π

12

的值，即可得到所求表达式的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由已知2asinA=（2b-c）sinB+（2c-b）sinC，
根据正弦定理化简得：2a²=b（2b-c）+c（2c-b），…（1分）
即a²=b²+c²-bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，…（3分）
又0＜A＜π，
∴A=

π

3

；…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：B+C=π-A=

2π

3

，
设B=

π

3

+α∈（0，

π

2

），C=

π

3

-α∈（0，

π

2

），可得：-

π

6

＜α＜

π

6

，
∴t=

sinB+cosC

cosB+sinC

=

sin( π 3 +α)+cos( π 3 -α)

cos( π 3 +α) +sin( π 3 -α)

=

cosα+sinα

cosα-sinα

=

1+tanα

1-tanα

=tan（α+

π

4

），…（8分）
∵-

π

6

＜α＜

π

6

，∴

π

12

＜α+

π

4

＜

5π

12

，
又函数y=tanx在区间（

π

12

，

5π

12

）上是增函数，
∴tan

π

12

＜t＜tan

5π

12

，…（10分）
又tan

π

12

=

sin π 12

cos π 12

=

2sin2 π 12

2sin π 12 cos π 12

=

1-cos π 6

sin π 6

=2-

3

，
tan

5π

12

=tan（

π

2

-

π

12

）=

1

tan π 12

=

1

2- 3

=2+

3

，
则表达式t=

sinB+cosC

cosB+sinC

的取值范围是（2-

3

，2+

3

）．…（12分）

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正切函数公式，以及正切函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．