Question

对非零实数x，y，z，定义运算“⊕”满足：（1）x⊕x=1；（2）x⊕（y⊕z）=（x⊕y）•z．若f（x）=e^2x⊕e^x-e^x⊕e^2x，则下列判断正确的是（　　）

• A、f（x）是增函数又是奇函数
• B、f（x）是减函数又是奇函数
• C、f（x）是增函数又是偶函数
• D、f（x）是减函数又是偶函数

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断,指数函数综合题

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：理解新定义的含义，求出f（x）的解析式，再判定各选项是否正确即可．

解答：解：根据题意，∵x⊕（y⊕z）=（x⊕y）•z，
∴令x=y=z，则x⊕（x⊕x）=（x⊕x）•x，
又∵x⊕x=1，
∴x⊕1=x；
又∵x⊕（y⊕z）=（x⊕y）•z，
∴令y=z，则x⊕（y⊕y）=（x⊕y）•y，
∴（x⊕y）•y=x⊕1=x，
∴x⊕y=

x

y

；
∴f（x）=e^2x⊕e^x-e^x⊕e^2x
=

e2x

ex

-

ex

e2x

=e^x-e^-x；
∴f（x）的定义域是R，
且f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数；
又∵y=e^x是增函数，∴y=e^-x是减函数，
∴y=-e^-x是增函数，
∴f（x）=e^x-e^-x是R上的增函数；
∴f（x）是奇函数也是增函数；
故选：A．

点评：本题考查了求新定义的函数的解析式问题，解题时应理解题意，求出f（x）的解析式，再判定各选项是否正确．