【题目】已知等腰梯形中(如图1),, , , 为边上一点,且,将沿折起,使平面平面(如图2).
(1)证明:平面平面;
(2)试在棱上确定一点,使截面把几何体分成的两部分.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析:I)依题意知:CD⊥AD,即可根据面面垂直的性质定理可得:所以DC⊥平面PAD,再根据面面垂直的判定定理可得:平面PAD⊥平面PCD.
(II)根据(I)同理可得:PA⊥平面ABCD,可得平面PAB⊥平面ABCD.在AB上取一点N,MN⊥平面ABCD,设MN=h,再分别计算出VPDCMA与VMABC的数值,并且结合题意可得,所以M为PB的中点.
试题解析:
(1)因为PDCB为等腰梯形,PB=3,DC=1,PA=1,则PA⊥AD,CD⊥AD.
又因为面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,CD面ABCD,故CD⊥面PAD.
又因为CD面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.
(2)所求的点M即为线段PB的中点.
证明如下:
设三棱锥M-ACB的高为h1,四棱锥P-ABCD的高为h2,
当M为线段PB的中点时,
所以, 所以截面AMC把几何体分成的两部分VP-DCMA∶VM-ACB=2∶1.
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【题目】已知函数f(x)=ax2+bx和g(x)=lnx. (Ⅰ) 若a=b=1,求证:f(x)的图象在g(x)图象的上方;
(Ⅱ) 若f(x)和g(x)的图象有公共点P,且在点P处的切线相同,求a的取值范围.
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【题目】如图:PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=1,AD=,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.
(1)当点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;
(2)证明:无论点E在边BC的何处,都有PE⊥AF.
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【题目】如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC,F、F1分别是AC,A1C1的中点.
求证:(1)平面AB1F1∥平面C1BF;
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
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【题目】如图所示,已知三棱锥P-ABC,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D为AB的中点,且△PDB是正三角形,PA⊥PC.
(1)求证:平面PAC⊥平面ABC.
(2)求二面角D-AP-C的正弦值.
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【题目】已知f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(4,2),
(1)求a的值.
(2)若g(x)=f(1-x)+f(1+x),求g(x)的解析式及定义域.
(3)在(2)的条件下,求g(x)的单调减区间.
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【题目】已知函数f(x)=x2+bx+c的图象过点(﹣1,3),且关于直线x=1对称
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若m<3,求函数f(x)在区间[m,3]上的值域.
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