分析 确定球心在PH上,由$\overrightarrow{AH}$=$λ\overrightarrow{AB}$+$μ\overrightarrow{AC}$且μ+2λ=1,运用向量的数量积的性质,计算即可得到半径R,再由球的体积公式计算即可得到.
解答 解:由于三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC内的射影为点H,
O为球心,OA=OB=OC=OP=R,
∵$\overrightarrow{AH}$=$λ\overrightarrow{AB}$+$μ\overrightarrow{AC}$
∴$\overrightarrow{AH}$•$\overrightarrow{AB}$=$λ\overrightarrow{AB}$2+$μ\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$
∴$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|2=$λ\overrightarrow{AB}$2+$μ\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$
即32=64λ+$μ\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$,①
同理对①两边取点乘$\overrightarrow{AC}$,可得
18=36μ+λ$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$,②
又μ+2λ=1③
由①②③解得,λ=$\frac{9}{20}$($\frac{1}{2}$舍去),μ=$\frac{1}{10}$,$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=32,
∴AH2=$\frac{9}{20}$×32+$\frac{1}{10}$×18=$\frac{81}{5}$,
∵PA=PB=PC=9$\sqrt{2}$
∴HP2=81×2-$\frac{81}{5}$=$\frac{81×9}{5}$
又在直角三角形AOH中,
R2=(HP-R)2+AH2,解得R=$\frac{9}{2}$,
则有球O的体积V=$\frac{4}{3}$πR3=$\frac{4}{3}$π•$\frac{729}{8}$=$\frac{243}{2}$π.
故答案为:$\frac{243}{2}$π.
点评 本题考查球的体积的求法,关键是求得球的半径,同时考查向量的数量积的定义和性质,通过两边取点乘和两边平方法,是解题的重点,具有一定的运算量,属于难题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -$\frac{b}{2a}$>0,$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$>0 | B. | -$\frac{b}{2a}$<0,$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$>0 | ||
C. | -$\frac{b}{2a}$>0,$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$<0 | D. | -$\frac{b}{2a}$<0,$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$<0 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{10}$ | B. | $\frac{1}{5}$ | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | $\frac{1}{3}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com