Question

已知：函数f(x)=2

3

sin2x+

cos3x

cosx

（1）求函数f（x）的最大值及此时x的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且对f（x）定义域中的任意的x都有f（x）≤f（A），若a=2，求

AB

•

AC

的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与二倍角公式化简函数f(x)=2

3

sin2x+

cos3x

cosx

为：f(x)=4sin(2x+

π

6

)-1然后求函数f（x）的最大值及此时x的值．
（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且对f（x）定义域中的任意的x都有f（x）≤f（A），推出f（A）是f（x）的最大值及A∈（0，π），求出A，通过余弦定理，和基本不等式确定bc的范围，然后求出

AB

•

AC

的表达式，即可求出它的最大值．

解答：解：（1）f(x)=2

3

sin2x+

cos2xcosx-sin2xsinx

cosx

=2

3

sin2x+cos2x-2sin2x（2分）=2

3

sin2x+2cos2x-1=4sin(2x+

π

6

)-1（3分）
所以当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z时，f（x）取最大值3，
此时x=kπ+

π

6

，k∈Z（5分）

（2）由f（A）是f（x）的最大值及A∈（0，π）得到，A=

π

6

（6分）
将a=2，A=

π

6

代入b²+c²-a²=2bccosA可得b2+c2-4=

3

bc，
又∵b²+c²≥2bc，∴

3

bc≥2bc-4，∴bc≤

4

2- 3

=4(2+

3

)（8分）
∴

AB

•

AC

=bccosA=

3

2

bc≤6+4

3

当且仅当b=c时

AB

•

AC

最大，最大值为6+4

3

（10分）

点评：本题考查三角函数的最值，平面向量数量积的坐标表示，基本不等式的应用，二倍角和两角和的正弦函数的应用是解题的关键，（2）是有难度的小综合题目，挖掘f（A）是f（x）的最大值，比较重要，灵活应用不等式求最值．