Question

（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A．（极坐标与参数方程选讲选做题）设曲线C的参数方程为

x=2+3cosθ y=-1+3sinθ

（θ为参数），直线l的方程为x-3y+2=0，则曲线C上的动点P（x，y）到直线l距离的最大值为

3+

7 10

10

．
B．（不等式选讲选做题）若存在实数x满足不等式|x-3|+|x-5|＜m²-m，则实数m的取值范围为

（-∞，-1）∪（2，+∞）

．
C．（几何证明选讲选做题）如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E．已知⊙O的半径为3，PA=2，则PC=

4

．OE=

5

9

．

Answer 1

分析：A：把曲线C的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，再把此距离加上半径，即得所求．
B：由绝对值得意义可得|x-3|+|x-5|的最小值2，再由题意可得m²-m＞2，由此求得实数m的取值范围．
C：由圆的切割线定理求出PC的值，用等面积法求出CE，用勾股定理求得OE的值．

解答：解：A：把曲线C的参数方程化为普通方程为 （x-2）²+（y+1）²=9，表示以C（2，-1）为圆心，半径等于3的圆．
圆心到直线 x-3y+2=0 的距离为

|2+3+2|

10

=

7 10

10

，则曲线C上的动点P（x，y）到直线l距离的最大值为 3+ 

7 10

10

，
故答案为 3+ 

7 10

10

．
B：由于|x-3|+|x-5|表示数轴上的x对应点到3和5对应点的距离之和，它的最小值等于2，
而存在实数x满足不等式|x-3|+|x-5|＜m²-m，故m²-m应大于|x-3|+|x-5|的最小值2，
即m²-m＞2，解得 m＜-1，或m＞2，
故答案为（-∞，-1）∪（2，+∞）．
C：由圆的切割线定理可得PC²=PA•PB=2（2+6）=16，∴PC=4．
由圆的切线性质可得，△POC为直角三角形，设它的面积为S，则S=

1

2

×OC×PC=

1

2

×CE×PO，
即

1

2

×3×4=

1

2

×CE×(2+3)，解得CE=

12

5

．
再由勾股定理可得OE=

OC2-CE 2

=

9-( 12 5 ) 2

=

9

5

，
故答案为 4；

9

5

．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用．绝对值不等式的解法，圆的切割线定理以及圆的切线性质应用，等面积法，属于中档题．