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已知O为坐标原点,向量=(sinα,1),=(cosα,0),=(-sinα,2),点P是直线AB上的一点,且点B分有向线段的比为1.
(1)记函数f(α)=,α∈(-),讨论函数f(α)的单调性,并求其值域;
(2)若O,P,C三点共线,求|+|的值.
【答案】分析:(1)由已知中O为坐标原点,向量=(sinα,1),=(cosα,0),=(-sinα,2),点P是直线AB上的一点,且点B分有向线段的比为1,我们代入定比分点坐标公式,可以求出点P的坐标,进而根据函数f(α)=,求出函数的解析式,利用除幂公式,及辅助解公式,将函数的解析式化为正弦型函数的形式后,结合α∈(-)及正弦函数的性质,我们即可求出函数f(α)的单调性,并求其值域;
(2)若O,P,C三点共线,我们向量共线的充要条件,求出tanα的值,结合|+|==,利用万能公式,代入即可求出|+|的值.
解答:解:依题意知:A(sinα,1),B(cosα,0),C(-sinα,2),
设点P的坐标为(x,y),
∵点B分有向线段的比为1
∴cosα=,0=
∴x=2cosα-sinα,y=-1,
∴点P的坐标为(2cosα-sinα,-1)(2分)
(1)∵=(sinα-cosα,1),=(2sinα,-1)
∴f(α)==2sin2α-2sinαcosα-1=-(sin2α+cos2α)=-sin(2α+),(4分)
由2α+∈(0,)可知函数f(α)的单调递增区间为(),单调递减区间为(-),(6分)
 所以sin(2α+)∈(-,1],其值域为[-,1);(8分)
(2)由O,P,C三点共线的-1×(-sinα)=2×(2cosα-sinα),
∴tanα=,(10分)
∴sin2α===
∴|+|===(12分)
点评:本题考查的知识点是正弦型函数的单调性,两角和与差的正弦,二倍角的正弦,二倍角的余弦,三点共线,定比分点坐标公式,其中(1)的关键是根据已知条件求出函数f(α)=的解析式,并化简为正弦型函数的形式,将问题转化为确定正弦型函数的单调区间和值域,(2)的关键是根据向量共线的充要条件,求出tanα的值.
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(2010•黄冈模拟)已知O为坐标原点,向量
OA
=(sinα,1),
OB
=(cosα,0),
OC
=(-sinα,2),点P是直线AB上的一点,且点B分有向线段
AP
的比为1.
(1)记函数f(α)=
PB
CA
,α∈(-
π
8
π
2
),讨论函数f(α)的单调性,并求其值域;
(2)若O,P,C三点共线,求|
OA
+
OB
|的值.

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已知O为坐标原点,
OA
=(2sin2x,1),
OB
=(1,-2
3
sinxcosx+1)
f(x)=-
1
2
OA
OB
+1

(1)求y=f(x)的最小正周期;
(2)将f(x)图象上各点的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的两倍,再将所得图象向左平移
π
6
个单位后,所得图象对应的函数为g(x),且α∈[
π
6
,  
3
],  β∈(-
6
,-
π
3
)
g(α)=
3
5
,  g(β)=-
4
5
,求cos2(α-β)-1的值.

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已知O为坐标原点,向量=(sinα,1),=(cosα,0),=(-sinα,2),点P是直线AB上的一点,且点B分有向线段的比为1.
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已知O为坐标原点,向量=(sinα,1),=(cosα,0),=(-sinα,2),点P是直线AB上的一点,且点B分有向线段的比为1.

(1)记函数f(α)=·,α∈,讨论函数f(α)的单调性,并求其值域;

(2)若OPC三点共线,求|+|的值.

 

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