Question

9．已知函数f（x）=$\frac{{9}^{x}}{{9}^{x}+3}$．
（1）求f（x）+f（1-x）的值；
（2）求f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+f（$\frac{3}{2015}$）+…+f（$\frac{2014}{2015}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用函数的解析式，直接化简求解即可．
（2）利用（1）的结果，直接求解即可．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{{9}^{x}}{{9}^{x}+3}$．
f（x）+f（1-x）=$\frac{{9}^{x}}{{9}^{x}+3}$+$\frac{{9}^{1-x}}{{9}^{1-x}+3}$=$\frac{{9}^{x}}{{9}^{x}+3}$$+\frac{{9}^{1-x}•{9}^{x}}{（{9}^{1-x}+3）•{9}^{x}}$=$\frac{{9}^{x}}{{9}^{x}+3}$+$\frac{9}{{3•9}^{x}+9}$=$\frac{{9}^{x}+3}{{9}^{x}+3}$=1．
（2）由（1）可得：f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+f（$\frac{3}{2015}$）+…+f（$\frac{2014}{2015}$）
=$\frac{1}{2}$[f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+f（$\frac{3}{2015}$）+…+f（$\frac{2014}{2015}$）+f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+f（$\frac{3}{2015}$）+…+f（$\frac{2014}{2015}$）]
=$\frac{2015}{2}$．

点评 本题考查函数值的求法，有理指数幂的运算法则，以及倒序相加法的应用，考查计算能力．