Question

20．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-9lnx在区间[a-$\frac{1}{2}$，a+$\frac{1}{2}$]上单调递减，则实数a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 首先求出函数的单调递减区间，然后结合数轴分析求出m的范围即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-9lnx，
∴函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=x-$\frac{9}{x}$，
∵x＞0，∴由f′（x）=x-$\frac{9}{x}$＜0，得0＜x＜3．
∵函数f（x）=$\frac{1}{2}$x2-9lnx在区间[a-$\frac{1}{2}$，a+$\frac{1}{2}$]上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{2}＞0}\\{a+\frac{1}{2}≤3}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{5}{2}$．
故答案为：（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

点评 此题是个中档题．考查学生掌握利用导数研究函数的单调性，以及分析解决问题的能力．