Question

11、设{a_n}是正项数列，它的前n项和S_n满足：4S_n=（a_n-1）•（a_n+3），则a₁₀₀₅=

2011

．

Answer 1

分析：把数列仿写一个，两式相减，合并同类型，用平方差分解因式，约分后得到数列相邻两项之差为定值，得到数列是等差数列，公差为2，取n=1代入4S_n=（a_n-1）（a_n+3）得到首项的值，写出通项公式．从而得到a₁₀₀₅．

解答：解：∵4S_n=（a_n-1）（a_n+3），
∴4s_n-1=（a_n-1-1）（a_n-1+3），
两式相减得整理得：2a_n+2a_n-1=a_n²-a_n-1²，
∵{a_n}是正项数列，
∴a_n-a_n-1=2，
∵4S_n=（a_n-1）（a_n+3），
令n=1得a₁=3，
∴a_n=2n+1，
∴a₁₀₀₅=2×1005+1=2011．
故答案为：2011．

点评：本题考查数列的递推式，解题时要注意数列通项公式的求解方法，合理地进行等价转化．