Question

20．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若双曲线右支上存在异于顶点的点P满足c•sin∠PF₁F₂=3a•sin∠PF₂F₁，则双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A． $（1，1+\sqrt{7}）$
• B． $（1，2+\sqrt{7}）$
• C． $（3，1+\sqrt{7}）$
• D． （3，2+$\sqrt{7}$）

Answer 1

分析 利用正弦定理及双曲线的定义，可得a，c的不等式，即可求出双曲线的离心率的取值范围．

解答 解：由正弦定理可得c•PF₂=3a•PF₁，且PF₁-PF₂=2a，
联立可得$P{F_2}=\frac{{6{a^2}}}{c-3a}$＞0，即得c-3a＞0，即$e=\frac{c}{a}＞3$，…①
又PF₂＞c-a（由P在双曲线右支上运动且异于顶点），
∴PF₂=$\frac{6{a}^{2}}{c-3a}$＞c-a，化简可得c²-4ac-3a²＜0，即e²-4e-3＜0，得$1＜e＜2+\sqrt{7}$…②
由①②可得$e∈（3，2+\sqrt{7}）$，
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的取值范围，考查正弦定理及双曲线的定义，属于中档题．