Question

9．如图，线段AB过x轴正半轴上一定点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线C．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）已知点P（n，2）为抛物线C上的点，过P（n，2）作倾斜角互补的两直线PS，PT，分别交抛物线C于S，T．求证：直线ST的斜率为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析 （1）设抛物线方程、直线AB的方程，联立这两个方程组消去x，利用两端点A、B到x轴的距离之积为2m，可求m的值，从而可得抛物线方程；
（2）由S（x₁，y₁），T（x₂，y₂）在抛物线y²=2x上，得到两方程，作差，结合斜率公式，可得ST的斜率，同理可得PS，PT的斜率，由k_SP=-k_PT，可得y₁+y₂=-4，由此能够证明直线ST的斜率为定值．

解答 （1）解：可设抛物线方程为y²=2px（p＞0），
设直线AB的方程为y=k（x-m）（k≠0）…（2分）
联立这两个方程组消去x得，ky²-2py-2pkm=0，…（4分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知得|y₁|•|y₂|=2m，注意到y₁•y₂＜0，所以y₁•y₂=-2m，
又y₁•y₂=-2pm，所以-2m=-2pm，因为m＞0，所以p=1．
所以抛物线方程为y²=2x；…（6分）
（2）证明：∵点P（n，2）为抛物线C上的点，∴n=2，∴P（2，2）．
∵S（x₁，y₁），T（x₂，y₂）在抛物线y²=2x上，
∴y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，
∴y₁²-y₂²=2（x₁-x₂），
∵x₁≠x₂，
∴k_ST=$\frac{2}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
同理，k_SP=$\frac{2}{{y}_{1}+2}$，k_PT=$\frac{2}{{y}_{2}+2}$，
∵k_SP=-k_PT，
∴$\frac{2}{{y}_{1}+2}$=-$\frac{2}{{y}_{2}+2}$，
∴y₁+y₂=-4，
故直线ST的斜率k_ST=-$\frac{1}{2}$（定值）．

点评 本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，是高考的重点．