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已知数列{an}满足an+1=pan2+q(p,q∈R,n∈N+)则下列命题正确的是
 
(写出所有正确命题的编号)
①若a2=q,则a1=0;
②存在p,对于任意的q∈R,数列{an}既是等差数列又是等比数列;
③当p=1,q=0且a1=10时,lgan=2n-1
④若p=
1
4
,q=
3
4
且a1为奇数,则数列{an}的所有项都是奇数;
⑤若p=
1
4
,q=
3
4
,a1>0且an+1>an,则0<a1<1或a1>3.
考点:数列递推式
专题:点列、递归数列与数学归纳法
分析:根据数列的递推关系,分别进行判断即可得到结论.
解答: 解:①若a2=q,a2=pa12+q=q.即pa12=0,则a1=0或p=0,当p=0时,结论不成立,故①错误;
②若存在p,对于任意的q∈R,数列{an}既是等差数列又是等比数列,则数列{an}是非零的常数列,
设an=c,(c≠0),
则方程等价为c=pc2+q,即pc2-c+q=0;
则q=c-pc2,若p的常数,则q=c-pc2,也是常数,则对于任意的q∈R,数列{an}既是等差数列又是等比数列不成立,故②错误,
③当p=1,q=0且a1=10时,an+1=an2,则a2=a12=102,a3=a22=(1022=104
a4=a32=108,an=an-12=102n-1,则lgan=2n-1成立,故③正确,
④若p=
1
4
,q=
3
4
且a1为奇数,则an+1=
1
4
an2+
3
4
=
1
4
(an2+3),若an为奇数,
设a1=2n+1,an+1=
1
4
[(2n+1)2+3]=
1
4
(4n2+4n+1+3)=n2+n+1=n(n+1)+1是奇数,故数列{an}的所有项都是奇数正确,故④正确,
⑤若p=
1
4
,q=
3
4
,a1>0且an+1>an,则an>0,且an+1=
1
4
an2+
3
4
>an
即an2-4an+3>0,∴0<an<1或an>3,∴0<a1<1或a1>3正确,故⑤正确.
故答案为:③④⑤
点评:本题主要考查数列的递推关系的应用,根据相关结论进行推理是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.
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