Question

已知函数f（x）=2^x-1，对于满足0＜x₁＜x₂＜2的任意x₁、x₂，给出下列结论：
（1）（x₁-x₂）[f（x₂）-f（x₁）]＜0；    （2）x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）；
（3）f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁；        （4）

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)，
其中正确结论的序号是（　　）

• A、（1）（2）
• B、（1）（3）
• C、（3）（4）
• D、（2）（4）

Answer 1

分析：由f（x）=2^x-1，0＜x₁＜x₂＜2，知x₁-x₂＜0，f（x₂）-f（x₁）＞0，故（1）成立，（2）不成立，（3）成立；再由

f(x1) +f(x2)

2

=

2x1+2x2

2

-1，f(

x1+x2

2

) =2

x1+x2

2

-1，知（4）不成立．

解答：解：∵f（x）=2^x-1，0＜x₁＜x₂＜2，
∴x₁-x₂＜0，f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴（x₁-x₂）[f（x₂）-f（x₁）]＜0，故（1）成立；
∵f（x）=2^x-1，0＜x₁＜x₂＜2，
∴0＜f（x₁）＜f（x₂）＜3，
∴x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）不成立，即（2）不成立；
∵f（x）=2^x-1，0＜x₁＜x₂＜2，
∴0＜f（x₁）＜f（x₂）＜3，
∴f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立，即（3）成立；
∵f（x）=2^x-1，0＜x₁＜x₂＜2，
∴

f(x1) +f(x2)

2

=

2x1+2x2

2

-1，
f(

x1+x2

2

) =2

x1+x2

2

-1，
∴

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)不成立．
故选B．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意指数函数运算公式的合理运用．