Question

已知函数f（x）=x²+x﹣ln（x+a）+3b在x=0处取得极值0．
（1）求实数a，b的值；
（II）若关于x的方程+m在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（III）证明：对任意的正整数n＞l，不等式都成立．

Answer 1

解：（I）由已知得f'（x）=2x+1﹣，
∵在x=0处取得极值0，
∴f'（0）=0，
解得：a=1，b=0．
（II）由（I）知f（x）=x²+x﹣ln（1+x）．
则方程+m即x²+x﹣ln（1+x）﹣-m=0，
令H（x）=x²+x﹣ln（1+x）﹣-m，
则方程H（x）=0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，
∵H'（x）=2x﹣﹣=，
∴当x∈（0，1）时，H'（x）＜0，故H（x）在（0，1）上是减函数；
当x∈（1，2）时，H'（x）＞0，故H（x）在（1，2）上是增函数；
从而有：，
∴﹣﹣ln2＜m≤1﹣ln3．
（III）由（I）知f（x）=x²+x﹣ln（1+x）的定义域为（﹣1，+∞），且f'（x）=，
当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＜0，故H（x）在（﹣1，0）上是减函数；
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，故H（x）在（0，+∞）上是增函数；
∴f（0）为f（x）在（﹣1，+∞）上的最小值，
∴f（x）≥f（0）=0，故x²+x≥ln（1+x），其中当x=0时等号成立，
对任意正整数n，取x=，得，
∴，
从而有：，分别取n=2，3，…，n，
得到：=ln成立．