【题目】已知椭圆与抛物线共焦点,抛物线上的点M到y轴的距离等于,且椭圆与抛物线的交点Q满足.
(I)求抛物线的方程和椭圆的方程;
(II)过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于、 两点,设线段AB的中点为,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)将抛物线上的点到轴的距离等于和抛物线的定义相结合,可得,可得抛物线的方程,已知在椭圆中的值,由可得点Q的坐标,结合椭圆的定义可得椭圆的方程;(2)联立直线与抛物线的方程,结合其有一个交点可得关系式,联立直线与椭圆的方程根据椭圆与直线有2个交点即,得到关于不等式,解不等式可得的取值范围,由中点坐标公式及韦达定理可得,从而可得其范围.
试题解析:(1)∵抛物线上的点到轴的距离等于,
∴点M到直线的距离等于点到焦点的距离,
得是抛物线的准线,即,
解得,∴抛物线的方程为;
可知椭圆的右焦点,左焦点,
由得,又,解得,
由椭圆的定义得,
∴,又,得,
∴椭圆的方程为.
(2)显然, ,
由,消去,得,
由题意知,得,
由,消去,得,
其中,
化简得,
又,得,解得,
设,则<0,
由,得,∴的取值范围是.
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【题目】某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验,准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨,其实验统计结果如下
方式 | 实施地点 | 大雨 | 中雨 | 小雨 | 模拟实验次数 |
A | 甲 | 2次 | 6次 | 4次 | 12次 |
B | 乙 | 3次 | 6次 | 3次 | 12次 |
C | 丙 | 2次 | 2次 | 8次 | 12次 |
假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响,且不考虑洪涝灾害,请根据统计数据:
(1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率;
(2)考虑不同地区的干旱程度,当雨量达到理想状态时,能缓解旱情,若甲、丙地需中雨或大雨即达到理想状态,乙地必须是大雨才达到理想状态,记“甲、乙、丙三地中缓解旱情的个数”为随机变量,求的分布列和数学期望.
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【题目】已知⊙: 与⊙: ,以, 分别为左右焦点的椭圆: 经过两圆的交点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ), 分别为椭圆的左右顶点, , , 是椭圆上非顶点的三点,若∥, ∥,试问的面积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
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【题目】《九章算术》中有这样一则问题:“今有良马与弩马发长安,至齐,齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里;弩马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎弩马.”则现有如下说法:
①弩马第九日走了九十三里路;
②良马前五日共走了一千零九十五里路;
③良马和弩马相遇时,良马走了二十一日.
则以上说法错误的个数是( )个
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】为了普及环保知识,增强环保意识,某校从理科甲班抽取60人,从文科乙班抽取50人参加环保知识测试.
优秀人数 | 非优秀人数 | 总计 | |
甲班 | |||
乙班 | 30 | ||
总计 | 60 |
(Ⅰ)根据题目完成列联表,并据此判断是否有的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关.
(Ⅱ)现已知, , 三人获得优秀的概率分别为, , ,设随机变量表示, , 三人中获得优秀的人数,求的分布列及期望.
附: ,
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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【题目】下列几个命题
①奇函数的图象一定通过原点
②函数y= 是偶函数,但不是奇函数
③函数f(x)=ax﹣1+3的图象一定过定点P,则P点的坐标是(1,4)
④若f(x+1)为偶函数,则有f(x+1)=f(﹣x﹣1)
⑤若函数f(x)= 在R上的增函数,则实数a的取值范围为[4,8)
其中正确的命题序号为 .
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【题目】已知抛物线: 的焦点为,圆: .直线与抛物线交于点、两点,与圆切于点.
(1)当切点的坐标为时,求直线及圆的方程;
(2)当时,证明: 是定值,并求出该定值.
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