Question

已知平面向量=（，），=（，）．
（1）证明：⊥；
（2）若存在不同时为零的实数k和t，使=+（t²-k），=-s+t，且⊥，试求s=f（t）的函数关系式；
（3）若s=f（t）在[1，+∞）上是增函数，试求k的取值范围．

Answer 1

（本小题满分12分）
解：（1）证明：由题知，且，
∴．（4分）
（2）由于，则，
从而-s||²+（t+sk-st²）+t（t²-k）||²=0，
故s=f（t）=t³-kt．（8分）
（3）设t₁＞t₂≥1，
则-kt₂）
=（t₁-t₂）（），
∵s=f（t）在[1，+∞）上是增函数，
∴，
即k＜在[1，+∞）上恒成立，
∵＞3，
∴只需k≤3即可．（12分）
分析：（1）由题知，且，能够证明．
（2）由于，则，从而-s||²+（t+sk-st²）+t（t²-k）||²=0，由此能够求出s=f（t）=t³-kt．
（3）设t₁＞t₂≥1，则-kt₂）=（t₁-t₂）（），由s=f（t）在[1，+∞）上是增函数，知k＜在[1，+∞）上恒成立，由此能求出k的范围．
点评：本题考查向量垂直的证明，考查函数解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．