Question

如图，△ABC中，AC=BC，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，F为BE的中点，DF∥平面ABC，?
（1）求CD的长；?
（2）求证：AF⊥BD；?
（3）求平面ADF与平面ABC所形成的较小的二面角的度数．

Answer 1

（1）解：取AB中点G，连FG、CG，则FG∥AE，
又AE和CD都垂直于平面ABC，∴AE∥CD，
∴FG∥CD，∴F、G、C、D四点共面．
又平面FGCD∩平面ABC=CG，DF∥平面ABC，
∴DF∥CG，∴四边形FGCD是平行四边形，∴
（2）证明：直角三角形ABE中，AE=AB，F是BE的中点，∴AF⊥BE，
又△ABC中，AC=BC，G是AB中点，∴CG⊥AB，又AE垂直于平面ABC，∴AE⊥CG，
又AE∩AB=A，∴CG⊥面ABE．∵DF∥CG，∴DF⊥面ABE，∴AF⊥DF
又∵BE∩DF=F，∴AF⊥面BED，∴AF⊥BD．
（3）解：设面ADF∩面ABC=L，∵DF∥平面ABC，∴DF∥L，
又DF⊥面ABE，∴L⊥面ABE，∴L⊥AF，L⊥AB，
∴∠FAB即为所求二面角的平面角．直角三角形ABE中，易得∠FAB=45°
∴平面ADF与平面ABC所形成的较小的二面角为45°．
分析：（1）取AB中点G，连FG、CG，则FG∥AE，由AE和CD都垂直于平面ABC，知AE∥CD，故FG∥CD，F、G、C、D四点共面．由DF∥平面ABC，DF∥CG，知四边形FGCD是平行四边形，由此能求出CD的长．
（2）在直角三角形ABE中，AE=AB，F是BE的中点，故AF⊥BE，由△ABC中，AC=BC，G是AB中点，知CG⊥AB，由AE垂直于平面ABC，知AE⊥CG，由此能够证明AF⊥BD．
（3）设面ADF∩面ABC=L，由DF∥平面ABC，知DF∥L，由DF⊥面ABE，知L⊥面ABE，故L⊥AF，L⊥AB，所以∠FAB即为所求二面角的平面角．由此能求出平面ADF与平面ABC所形成的较小的二面角的大小．
点评：本题考查求CD的长，求证：AF⊥BD，求平面ADF与平面ABC所形成的较小的二面角的度数．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．