Question

17．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{x-1}，x≤0}\\{lgx，x＞0}\end{array}\right.$，若关于x的方程f[f（x）]=0仅有一解，则a的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 可判断a≠0，从而由分段函数判断方程的解的个数即可．

解答 解：若a=0，则方程f[f（x）]=0有无数个解，
故a≠0；
∵f[f（x）]=0，
∴lgf（x）=0或$\frac{a}{f（x）-1}$=0（舍去），
∴f（x）=1；
∴lgx=1或$\frac{a}{x-1}$=1，
∴x=10或a=x-1；
又∵关于x的方程f[f（x）]=0仅有一解，
∴a=x-1在x≤0上无解，
∴a＞-1，
综上所述，a的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）．

点评 本题考查了分段函数的应用及方程的根与函数的关系应用，属于中档题．