Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F₁(－4，0)，F₂(4，0)，A(0，8)，直线y＝t(0＜t＜8)与线段AF₁、AF₂分别交于点P、Q．

(Ⅰ)当t＝3时，求以F₁，F₂为焦点，且过PQ中点的椭圆的标准方程；

(Ⅱ)过点Q作直线QR∥AF₁交F₁F₂于点R，记△PRF₁的外接圆为圆C．

求证：圆心C在定直线7x＋4y＋8＝0上；圆C是否恒过异于点F₁的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)设椭圆的方程为，当时，PQ的中点为(0，3)，所以b＝3　　3分 　　而，所以，故椭圆的标准方程为　　5分 　　(Ⅱ)①解法一：易得直线， 　　所以可得，再由∥，得　　8分 　　则线段的中垂线方程为，线段的中垂线方程为， 　　由，解得的外接圆的圆心坐标为　　10分 　　经验证，该圆心在定直线上　　11分 　　解法二：易得直线，所以可得，再由∥，得　　8分 　　设的外接圆的方程为， 　　则，解得　　10分 　　所以圆心坐标为，经验证，该圆心在定直线上　　11分 　　②由①可得圆C的方程为　　13分 　　该方程可整理为， 　　则由，解得或， 　　所以圆恒过异于点的一个定点，该点坐标为　　16分