Question

（1）如图，向量

OA

和

OB

被矩阵M作用后分别变成

OA/

和

OB/

，
（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）并求y=sin(x+

π

3

)在M作用后的函数解析式；
（2）已知在直角坐标系x0y内，直线l的参数方程为

x=-2+tcos600 y=tsin600

(t为参数)．以Ox为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos(θ-

π

3

)=

1

2

． 若C与L的交点为P，求点P与点A（-2，0）的距离|PA|

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）二阶矩阵把点变换成点，利用待定系数法及二阶矩阵与平面列向量的乘法，可求矩阵M，
（Ⅱ）二阶矩阵把点变换成点，借此又可解决坐标变换问题，注意变换前后点的坐标间的关系；
（2）求解的关键是转换为直角坐标方程进行解决，注意参数的几何意义．

解答：解：（Ⅰ）（1）待定系数设M=

a b c d

…求得M=

2 0 0 2

 （Ⅱ） M=

2 0 0 2

?

x= x′ 2 ′ y= y′ 2 ′

再坐标转移法得y′=2sin(

x

2

+

π

3

)
（2）曲线C化为直角坐标为：x+

3

y=1，将

x=-2+tcos600 y=tsin600

（t为参数）代入C得：t=

3

2

，所以|PA|=

3

2

点评：由矩阵M确定的变换，通常记为T_M，根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在T_M，的作用下得到一个新的图形．通过变换矩阵建立所求曲线上的点的坐标之间的关系是解决这类问题的关键．点的直角坐标与极坐标的互化、曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化要熟练掌握．