Question

12．已知函数f（x）=xcosx-sinx-x²+1．
（1）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（2）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同的交点，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；
（2）求出函数的导数，求得单调区间，可得极值、最值，结合单调性和条件，即可得到b的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=xcosx-sinx-x²+1的导数为：
f′（x）=cosx-xsinx-cosx-2x=-x（sinx+2），
即有曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线斜率为k=-2π，
切点为（π，-π+1-π²），
曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为y+π-1+π²=-2π（x-π），
即有y=1+π²-π-2πx；
（2）f′（x）=cosx-xsinx-cosx-2x=-x（sinx+2），
由sinx+2＞0，当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增．
即有x=0处取得极大值，也为最大值，且为1．
由曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同的交点，
则b＜1．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，考查函数和方程的转化，属于中档题．