Question

【题目】（理科答）已知数列{an}及等差数列{bn}，若a1=3，an= an﹣1+1（n≥2），a1=b2 ， 2a3+a2=b4 ，
（1）证明数列{an﹣2}为等比数列；
（2）求数列{an}及数列{bn}的通项公式；
（3）设数列{anbn}的前n项和为Tn ， 求Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：a1=3，an= an﹣1+1（n≥2），

an﹣2= （an﹣1﹣2），

则数列{an﹣2}为首项为1，公比为 的等比数列

（2）解：（由（1）可得an﹣2=（ ）n﹣1，

即为an=2+（ ）n﹣1，

a1=b2=3，

2a3+a2=b4=2（2+ ）+2+ =7，

可得等差数列{bn}的公差d= =2，

则bn=b2+（n﹣2）d=3+2（n﹣2）=2n﹣1

（3）证明：数列{anbn}的前n项和为Tn，

anbn=[2+（ ）n﹣1]（2n﹣1）=2（2n﹣1）+（2n﹣1）（ ）n﹣1，

设Sn=1（ ）0+3（ ）+5（ ）2+…+（2n﹣1）（ ）n﹣1，

Sn=1（ ）+3（ ）2+5（ ）3+…+（2n﹣1）（ ）n，

相减可得， Sn=1+2[（ ）+（ ）2+（ ）3+…+（ ）n﹣1]﹣（2n﹣1）（ ）n

=1+2[ ]﹣（2n﹣1）（ ）n，

化简可得Sn=6﹣ ，

则Tn=2 n（1+2n﹣1）+6﹣ =2n2+6﹣

【解析】（1）an= an﹣1+1的两边减2，再由等比数列的定义即可得证；（2）运用等比数列和等差数列的通项公式，计算即可得到；（3）求得anbn=[2+（ ）n﹣1]（2n﹣1）=2（2n﹣1）+（2n﹣1）（ ）n﹣1 ， 再由数列的求和方法：分组求和和错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．