Question

设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有0＜f′（x）＜2成立，则（　　）

• A、f（1）＜f（3）＜f（2）+2
• B、f（2）+2＜f（3）＜f（1）
• C、f（1）＜f（2）+2＜f（3）
• D、f（2）+2＜f（1）＜f（3）

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：对任意x∈R都有0＜f′（x）成立，可知：函数f（x）单调递增，可得f（3）＞f（1）．令g（x）=f（x）-2x，g′（x）=f′（x）-2，由于对任意x∈R都有f′（x）＜2成立，可得g′（x）＜0，因此函数g（x）单调递减．即可得出f（3）-6＜f（2）-4．

解答： 解：∵对任意x∈R都有0＜f′（x）成立，∴函数f（x）单调递增，∴f（3）＞f（1）．
令g（x）=f（x）-2x，则g′（x）=f′（x）-2
∵对任意x∈R都有f′（x）＜2成立，∴g′（x）＜0，∴函数g（x）单调递减．
∴g（3）＜g（2）即f（3）-6＜f（2）-4，化为f（3）＜f（2）+2．
综上可得：f（1）＜f（3）＜f（2）+2．
故选：A．

点评：本题考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性的方法，考查了推理能力，属于难题．