Question

14．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{x-y+1≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$．
（1）若z=x-2y，求z的最大值和最小值；
（2）若z=x²+y²，求z的最大值和最小值；
（3）若z=$\frac{y}{x}$，求z的最大值和最小值；
（4）z=ax+y（a＜0）取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值；
（5）z=ax+y取得的最大值为5，最小值为3，求a的值．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合，分别根据目标函数的几何意义进行求解即可的得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（2，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即C（2，3），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（1，2），
（1）由z=x-2y得y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
平移直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
由图象可知当直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，过点C时，直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$的截距最大，此时z最小，此时z=2-2×3=2-6=-4，
当直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，过点A时，直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$的截距最小，此时z最大，此时z=2-2×1=2-2=0，
∴目标函数z=x-2y的最小值是-4，最大值0．
（2）z=x²+y²的几何意义为到原点的距离的平方，
由图象知，OC的距离最大，此时z=x²+y²=2²+3²=4+9=13，
原点到直线x+y-3=0的距离最小，d=$\frac{|-3|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$
此时z=d²=$\frac{9}{2}$，
故z最大值是13，最小值是$\frac{9}{2}$．
（3）z=$\frac{y}{x}$的几何意义是P（x，y）与原点连线的斜率，
由图象知OB的斜率最大为$\frac{2}{1}=2$，OA的斜率最小为$\frac{1}{2}$，
故z的最大值是2，最小值是$\frac{1}{2}$．
（4）由z=ax+y（a＜0）得y=-ax+z，
∵a＜0，∴目标函数的斜率k=-a＞0，
若z=ax+y（a＜0）取得最大值的最优解有无穷多个，
则目标函数的斜率k=-a等于BC的斜率1，
即-a=1，则a=-1．
（5）由z=ax+y，得y=-ax+z，
若a=0，则y=z，由图象知当直线y=z在A取得最小值，在C取得最大值，
即1≤z≤3，此时不满足条件．
若a＜0，∴目标函数的斜率k=-a＞0，
当y=-ax+z在A的截距最小，此时z取得最小值3，
即a+1=3，得a=2，此时不满足条件．
若a＞0，∴目标函数的斜率k=-a＜0，
当y=-ax+z在C的截距最大，此时z取得最大值5，
即2a+3=5，得a=1，
当a=1时，y=-x+z，作出y=-x+z的图象，
由图象知直线y=-x+z经过点A时，截距最小，此时z最小，
此时z=2+1=3，满足条件．故a=1．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．