Question

11．如图所示，正方体的棱长为1，B'C∩BC'=O，求：
（1）AO与A′C′所成角的度数；
（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；
（3）平面AOB与平面AOC所成角的度数．

Answer 1

分析 （1）由A′C′∥AC，知∠OAC是AO与A′C′所成角，由此能求出AO与A′C′所成角的度数．
（2）过O作OE⊥平面ABCD，交BC于E，连结AE，则∠OAE是AO与平面ABCD所成角，由此能求出AO与平面ABCD所成角的正切值．
（3）由OB⊥AB，BE⊥AB，知∠EBB′是平面AOB与平面AOC所成角，由此能求出平面AOB与平面AOC所成角的度数．

解答 解：（1）∵A′C′∥AC，∴∠OAC是AO与A′C′所成角，
∵正方体的棱长为1，B'C∩BC'=O，
∴CO=$\frac{1}{2}\sqrt{1+1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AC=$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，AO=$\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴cos∠CAO=$\frac{A{O}^{2}+A{C}^{2}-O{C}^{2}}{2•AO•AC}$=$\frac{\frac{6}{4}+2-\frac{2}{4}}{2×\frac{\sqrt{6}}{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠CAO=30°，
∴AO与A′C′所成角的度数为30°．
（2）过O作OE⊥平面ABCD，交BC于E，连结AE，
则∠OAE是AO与平面ABCD所成角，
AE=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，OE=$\frac{1}{2}$，
∴tan$∠OAE=\frac{OE}{AE}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴AO与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（3）∵AB⊥平面BCC′B′，∴OB⊥AB，BE⊥AB，
∴∠EBB′是平面AOB与平面AOC所成角，
∵BE⊥OE，BE=OE，∴∠EBO=45°，
∴平面AOB与平面AOC所成角的度数为45°．

点评 本题考查线线角的度数的求法，考查线面角的度数的求法，考查面面角的度数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．