精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

定义双曲正弦函数y=sin hx= $数学公式$ （e^x-e^-x），双曲余弦函数y=cos hx= $数学公式$ （e^x+e^-x）．
（1）各写出四条双曲正弦函数和双曲余弦函数的性质．（定义域除外）
（2）给出双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式，探究并证明六者间的平方关系．
（3）模仿三角函数中两角的和与差关系，探究并证明双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数的“两角”和与差关系．

解：（1）sin hx= $\text{[math]}$ （e^x-e^-x）奇函数，单调递增，无周期性，值域为R．
cos hx= $\text{[math]}$ （e^x+e^-x）偶函数，R上无单调，无周期性，值域为[1，+∞）．
（2）tan hx= $\text{[math]}$ ；cot hx= $\text{[math]}$ ；sec hx= $\text{[math]}$ ；csc hx= $\text{[math]}$ ．
cos h²（x）-sin h²（x）=1；cot h²（x）-csc h²（x）=1；tan h²（x）+sec h²（x）=1．
（3）sin h（x+y）=sin h（x）•cos h（y）+cos h（x）•sin h（y），
sin h（x-y）=sin h（x）•cos h（y）-cos h（x）•sin h（y），
cos h（x+y）=cos h（x）•cos h（y）+sin h（x）•sin h（y），
cos h（x-y）=cos h（x）•cos h（y）-sin h（x）•sin h（y），
tan h（x+y）= $\text{[math]}$ ；tan h（x-y）= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由sin hx= $\text{[math]}$ （e^x-e^-x）是奇函数，单调递增，无周期性，值域为R．同理写出cos hx= $\text{[math]}$ （e^x+e^-x）的性质．
（2）利用同角三角函数的基本关系可得双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式，计算求得 cos h²（x）-sin h²（x）=1；cot h²（x）-csc h²（x）=1；tan h²（x）+sec h²（x）=1．
（3）利用两角和差的三角公式，写出sin h（x+y）、sin h（x-y）、cos h（x+y）、tan h（x+y）及tan h（x-y ）的表达式．
点评：本题考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，是一道基础题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

常数e=

lim

n→∞

(1+

)n=2.718281828459…，定义函数f(x)=

ex-e-x

为双曲正弦函数，记为sinhx，定义函数g(x)=

ex+e-x

为双曲余弦函数，记为coshx．则以下三个命题正确的是

（2）

．（只需填正确命题序号）
（1）cosh（x+y）=coshx•coshy-sinhx•sinhy；
（2）sinh（x+y）=sinhx•coshy+coshx•sinhy；
（3）（sinhx）²-（coshx）²=1．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

定义双曲正弦函数y=sin hx=

（e^x-e^-x），双曲余弦函数y=cos hx=

（e^x+e^-x）．
（1）各写出四条双曲正弦函数和双曲余弦函数的性质．（定义域除外）
（2）给出双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数和双曲余割函数的定义式，探究并证明六者间的平方关系．
（3）模仿三角函数中两角的和与差关系，探究并证明双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数的“两角”和与差关系．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源：2010年上海市重点中学高考数学模拟试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

常数