Question

3．若α，β都是锐角，且sin（α+β）=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则cosβ=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．

Answer 1

分析 由题意可得sinα和α的范围，进而由sin（α+β）=$\frac{3}{5}$缩小α+β的范围，由同角三角函数基本关系可得cos（α+β），再由两角差的余弦公式可得．

解答 解：∵α为锐角，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜$\frac{1}{2}$，∴$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴由同角三角函数基本关系可得sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵sin（α+β）=$\frac{3}{5}$，且$\frac{1}{2}$＜$\frac{3}{5}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$＜α+β＜$\frac{π}{3}$，或$\frac{2π}{3}$＜α+β＜$\frac{5π}{6}$，
结合$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{2}$可得$\frac{2π}{3}$＜α+β＜$\frac{5π}{6}$，
∴cos（α+β）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）}$=-$\frac{4}{5}$，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=-$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式和同角三角函数的基本关系，缩小角的范围是解决问题的关键，属中档题和易错题．