【题目】定义为n个正数
的“均倒数”.已知正项数列{an}的前n项的“均倒数”为
.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设数列的前n项和为
,若4
<
对一切
恒成立试求实数m的取值范围.
(3)令,问:是否存在正整数k使得
对一切
恒成立,如存在求出k值,否则说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)存在正整数k=10使得
对一切
恒成立.
【解析】
(1)由题意首先确定数列的前n项和,然后利用前n项和与通项公式的关系求解数列的通项公式即可;
(2)首先裂项求和求得,然后结合前n项和的范围得到关于m的不等式,求解不等式即可确定实数m的取值范围;
(3)解法一:计算的值,确定
取得最大值时的n的取值即可求得实数k的值;
解法二:由题意可知,满足题意时有,据此求解实数k的范围,结合k为正整数即可求得实数k的值.
(1)设数列的前n项和为
,
由于数列{an}的前n项的“均倒数”为,
所以,
=
,
当,
当,
(对当
成立),
.
(2)=
=
,
=
=
,
<
对一切
恒成立,
,
解之得,
即m的取值范围是.
(3)解法一:=
,
由于=
,
时
,
时
,
时
取得最大值,
即存在正整数k=10使得对一切
恒成立.
解法二:=
,
假设存在正整数k使得则
为数列
中的最大项,
由得
,
,
又,
k=10,
即存在正整数k=10使得对一切
恒成立.
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【题目】某市对所有高校学生进行普通话水平测试,发现成绩服从正态分布N(μ,σ2),下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成绩.
(1)计算这10名学生的成绩的均值和方差;
(2)给出正态分布的数据:P(μ﹣σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.9544.
由(1)估计从全市随机抽取一名学生的成绩在(76,97)的概率.
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【题目】公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形的面积可无限接近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”,刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”,利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出的值为( )
(参考数据:)
A. 12 B. 24 C. 48 D. 96
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【题目】建设生态文明,是关系人民福祉,关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场,为响应节能减排的号召,在气温超过时,才开放中央空调降温,否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温(单位:
)随时间(
,单位:小时)的大致变化曲线,若该曲线近似的满足函数
关系.
(1)求函数的表达式;
(2)请根据(1)的结论,判断该商场的中央空调应在本天内何时开启?何时关闭?
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【题目】某同学为研究函数的性质,构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC,点P是边BC上的一个动点,设
,则
.请你参考这些信息,推知函数
的图象的对称轴是______;函数
的零点的个数是______.
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【题目】如图,已知椭圆,点B是其下顶点,过点B的直线交椭圆C于另一点A(A点在
轴下方),且线段AB的中点E在直线
上.
(1)求直线AB的方程;
(2)若点P为椭圆C上异于A、B的动点,且直线AP,BP分别交直线于点M、N,证明:OM·ON为定值.
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【题目】环保组织随机抽检市内某河流2015年内100天的水质,检测单位体积河水中重金属含量,并根据抽检数据绘制了如下图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求图中的值;
(Ⅱ)假设某企业每天由重金属污染造成的经济损失(单位:元)与单位体积河水中重金属含量
的关系式为,若将频率视为概率,在本年内随机抽取一天,试估计这天经济损失不超过500元的概率.
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【题目】随着国家二孩政策的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了位育龄妇女,结果如表.
非一线 | 一线 | 总计 | |
愿生 | |||
不愿生 | |||
总计 |
附表:
| |||
由算得,
参照附表,得到的正确结论是( )
A. 在犯错误的概率不超过的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”
B. 有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
C. 在犯错误的概率不超过的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”
D. 有以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
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